論理クイズ 1000個のロッカー

こんにちはブログ担当のYです

今回も論理クイズを紹介します

1000個のロッカー

ある学校の部室には1000個のロッカーがありました

また、1000人の部員がおり、部員たちは次のような行動をとった

初めに、ロッカーの扉は全て閉まっている

1000人が順番に並び、1番目の人は1の倍数のロッカー(全てのロッカー)の扉を開けた

2番目の人は2の倍数のロッカーの扉を閉めた

3番目の人は3の倍数のロッカーの扉を、扉が開いていれば閉め、閉まっていれば開けた

4番目の人は……

1000番目の人は1000の倍数のロッカーの扉を開いていれば閉め、閉まっていれば開けた

さて、この時いくつのロッカーが開いているでしょうか

答え

31個

操作が終わった後に開いたままのロッカーというのは、そのロッカーの番号の約数の数が奇数であることと等しい

例えば16の約数は1、2、4、8、16の5つなのでそれぞれ1番、2番、4番、8番、16番の人がロッカーの扉を操作する

初めは閉まっているので奇数回操作すると最後には開いたままである

約数が奇数個の数とは1、4、9、16、25……のように2乗の形で表せる平方数です

なぜかというと

1(1)1個

4(124)3個

9(139)3個

16(124816)5個

25(125)3個

平方数ではない数の約数というのは2つで1セットになっているため、偶数個になる

しかし平方数の約数は、普通の数の約数の偶数個に加え、平方根1個があるため奇数個になる

問題に戻ると、開いたままのロッカーは平方数であることがわかったので、1000までの平方数の個数が分かればいい

30^2=900

31^2=961

32^2=1024

1000までの平方数で一番大きいのは31の2乗で961

つまり1000までの整数の中には平方数が31個ある

したがって開いたままのロッカーの個数も31個となる

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