論理クイズ 帽子の色

3人の帽子の色

ここに黒い帽子が2つと白い帽子が3つある

3人の人にそれぞれ自分の帽子の色が分からないように白い帽子を被せる

3人は他の人の帽子の色は見えるが自分の帽子の色は分からない

3人に自分の帽子の色を当てる事ができるかと問うと、しばらく後に全員が自分の帽子の色が白であることを当てた

どのようにして3人は自分の帽子の色を当てる事ができたのだろうか

※3人はそれぞれここにある帽子が黒2つ白3つであることを知っている

※3人は他の人の帽子の色はわかるが話し合ったりして何かを伝えたりすることはできない

答え

まず3人が見える可能性のある他2人の帽子の色の組み合わせは、黒・黒、黒・白、白・白の3通り

他2人の帽子の色の組み合わせ自分の帽子の色
黒・黒
黒・白わからない
白・白わからない

黒・黒が見えれば自分の帽子の色はすぐに白だとわかる

黒・白が見えたとき、自分の被っている帽子が黒ならば白を被っている人がすぐに帽子の色を当てられる

なのですぐに答えが出なければ自分の帽子の色は白である事がわかる

白・白が見えたとき、自分の被っている帽子が黒ならば他の2人からは黒・白に見えているので上の黒・白パターンになるので他2人が帽子の色を当てられる

なのでしばらくして他2人が答えられなければ自分の帽子の色は白である事がわかる

100人の帽子の色

ここに100人の人が赤青緑の3色の帽子を被り、100段の階段の上に並んでいる

自分より下にいる人の帽子の色を見ることはできるが自分を含め自分より上にいる人の帽子の色はわからない

一番上の人から順番に自分の被っている帽子の色を予想して全員に聴こえるように叫ぶ

この時、できるだけ多くの人が正解できるようにするにはどのような方法を取れば良いだろうか

※事前に100人で作戦を共有する事ができる

※順番に帽子の色を言うときは帽子の色をひとつ言うこと以外のことはできない(例えば下の99人の帽子の色を順番に言うなど)

答え

  • 1番上の人が下99人の帽子の色を 赤 = 0 青 = 1 緑 = 2に変換して合計する
  • それを3で割ったあまりに対応する色を言う
  • 1番上以外の人は自分の見えている色の合計と今まで言われた色から計算して自分の帽子の色を求める
  • この方法で一番上の人以外の99人が正解できる

例えば5人のパターンを考えます

5人が上から緑・赤・青・青・緑の帽子を被っているとします

1番上の人は赤・青・青・緑が見えているので

(0+1+1+2)÷3=?余り1→と答える

2番目の人は青・青・緑が見えているので1+1+2で合計4

3で割ったあまりは1なので全体との差は0

(X+1+1+2)÷3=?余り1

自分の色は0である赤だとわかる

3番目の人は青・緑が見えているので1+2で合計3

3で割ったあまりは0、全体は1-0で1

(0+X+1+2)÷3=?余り1

自分の色は1である青だとわかる

4番目の人は緑が見えているので合計2

3で割ったあまりは2、全体は1-0-1で0

(0+1+X+2)÷3=?余り1

自分の色は1である青だとわかる

5番目の人は2番目の人からの色を合計して赤・青・青なので0+1+1で2

自分を含めた合計を3で割ると1余る

(0+1+1+X)÷3=?余り1

自分の色は2である緑だとわかる

100人の場合も同じように1番上の人以外は自分の帽子の色を当てる事ができる

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