数学パズル　はかりの問題

こんにちはブログ担当のYです

今回ははかりの問題を紹介します

論理的思考力と数学的思考力が問われる問題です

はかりの問題

Q1.2つの皿がある天秤を使って、1gから40gまでの重さを1g単位で測れるようにするには最低何個のおもりがあれば良いでしょう？

また、おもりはそれぞれ何gである必要があるでしょう

Q2.Q1と同じように今度は400gまで1g単位で測れるようにするには何個のおもりが必要でしょう？

また、おもりはそれぞれ何gである必要があるでしょう

Q3.Q1と同じように今度は10kg(10000g)まで1g単位で量れるようにするには何個のおもりが必要でしょう？

また、おもりはそれぞれ何gである必要があるでしょう

答え

1g、3g、9g、27gの重さのおもりがあれば40gまでの重さを1g単位で量ることができます

[量りたい重さ](おもりの組み合わせ)

[1g](1)

[2g](3-1)

[3g](3)

[4g](3+1)

ここまでで1~4gまでの重さが量れることがわかったのでここから下では1と3の組み合わせで1~4の数字が使える

[5g](9-4)

[6g](9-3)

[7g](9-2)

[8g](9-1)

[9g](9)

[10g](9+1)

[11g](9+2)

[12g](9+3)

[13g](9+4)

ここまでで1~13gまでの重さが量れることがわかったのでここから下では1と3と9の組み合わせで1~13の数字が使える

[14g](27-13)

[15g](27-12)

…………

[40g](27+13)

Q1の4個に加え、81g、243gのおもりが必要です

Q1の答えを踏まえ、1~40の数字を81と組み合わせて121gまで量ることができます

[41g](81-40)

[42g](81-39)

…………

[119g](81+38)

[120g](81+39)

[121g](81+40)

ここまでの結果から、1g、3g、9g、27g、81gのおもりで1~121gを量ることができると分かったので、243gのお守りと組み合わせると364gまで量ることができます

[122g](243-121)

[123g](243-120)

[124g](243-119)

…………

[362g](243+119)

[363g](243+120)

[364g](243+121)

以上の結果から何か気づいたことはありませんか？

実はおもりの重さが3の累乗になっているんです

1(3の0乗)、3(3の1乗)、9(3の2乗)、27(3の3乗)、81(3の4乗)、243(3の5乗)

量れる最大の重さはどうでしょうか

1個だと1g

2個だと4g (1+3)

3個だと13g (4+9)

4個だと40g (13+27)

5個だと121g (40+81)

6個だと364g (121+243)

これもそれぞれの差が3の塁乗になっていますね

したがってQ3の答えを求めるには3の累乗を合計10000以上になるまで足し合わせれば良いので

364+729=1093

1093+2187=3280

3280+6561=9841

9841+19683=29524

上の計算より、Q2のおもりに加え729g、2187g、6561g、19683gの4つのおもりが必要であるとわかりました

おまけ

一般化してみる

おもりの個数をn個とすると1g単位で量れる重さは

等比級数の和の公式を使うと

1+3+9+27+ …… = (1 - 3^n) / 1 - 3 
             = (1 - 3^n) / -2
             = (3^n - 1) / 2

以上のように一般化できます

試しにn=10を代入してみると

  (3^n - 1) / 2
= (3^10 - 1) / 2
= (59049 - 1) / 2
= 59048 / 2
= 29524

Q3で計算したのと同じ結果になりましたね