こんにちはブログ担当のYです

今回も論理クイズを紹介します

忘れた帽子の行方

Aさんは家を訪れると5分の1の確率で帽子を忘れるという性質があります

ある日Aさんは自分の家を出る時は帽子をかぶっていました

3つの家を訪れ、家に帰ると帽子を忘れてきてしまったことに気づきました

2番目の家に帽子を忘れてきてしまった確率はどのくらいでしょう

ヒント

2番目の家に帽子を忘れた確率は25分の4ではありません

通常の確率の考え方なら、1番目の家で帽子を忘れなかった確率(5分の4) x 2番目の家で帽子を忘れた確率(5分の1)で25分の4

となるのですが、この問題ではそれでは間違いです

答え

61分の20

一つずつ順を追って確率を考えてみましょう

まず、Aさんがある家に帽子を忘れる確率は(その時帽子をかぶっている確率)x(帽子を忘れる確率)で求めることができます

1つ目の家に帽子を忘れる確率

1つ目の家を訪れたときは必ず帽子をかぶっているため、帽子をかぶっている確率は1です

そのため、1つ目の家に帽子を忘れる確率は1 x 1/5 = 1/5です

2つ目の家に帽子を忘れる確率

1つ目の家で帽子を忘れた場合は2つ目の家を訪れた時帽子をかぶっていません

なのでこの時帽子をかぶっている確率は1 - 1/5 = 4/5です

そのため、2つ目の家に帽子を忘れる確率は4/5 x 1/5 = 4/25です

3つ目の家に帽子を忘れる確率

1つ目の家と2つ目の家のどちらかで帽子を忘れた場合は3つ目の家を訪れた時帽子をかぶっていません

なのでこの時帽子をかぶっている確率は1 - 1/5 - 4/25 = 16/25です

そのため、3つ目の家に帽子を忘れる確率は16/25 x 1/5 = 16/125です

どの家にも帽子を忘れてこない確率

Aさんが自分の家に戻ったとき帽子をかぶっている確率です

3つの家を訪れ、どの家でも帽子を忘れなかった確率は、1 - 1/5 - 4/25 - 16/125 = 64/125です

ここで問題文をもう一度よくみてみましょう

(Aさんは)3つの家を訪れ、家に帰ると帽子を忘れてきてしまったことに気づきました

この1文が非常に大切です

なぜなら、Aさんは帽子を忘れてきたことが確定するからです

つまり上で計算したAさんがどの家にも帽子を忘れてこない確率を除外して考えなくてはならないということです

全ての確率を分母を統一して整理してみましょう

1つ目の家に帽子を忘れてくる確率25/125
2つ目の家に帽子を忘れてくる確率20/125
3つ目の家に帽子を忘れてくる確率16/125
どの家にも帽子を忘れない確率64/125

つまり125回試したら25回は1つ目の家に帽子を忘れ、20回は2つ目の家に帽子を忘れ、16回は3つ目の家に帽子を忘れ、64回は帽子を忘れてこないということです

しかし今回は帽子を忘れてきたことが確定しています

つまり25+20+16=61回のうちどれかのパターンであるということです

その中で問われているのは2つ目の家に帽子を忘れてくる確率なので、20/61が答えになるという訳です

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