こんにちはブログ担当のYです。
今回も論理クイズを紹介します。
6つの電池
太郎くんは懐中電灯と6つの電池を持っています。
懐中電灯は満タンの電池3つで動きます。
電池は6つのうち4つが満タン、2つが空であることがわかっています。
しかし、どれが満タンの電池でどれが空の電池かわかりません。
さて、太郎くんは懐中電灯を点けたいと思い、電池を入れてみることにしました。
太郎くんが最適な方法で電池を試した場合、最悪のパターンでは何回電池を入れなければならないでしょうか。
答え
6回
解説
5回以下ではできない可能性があることを証明します。
少し長いので以下にまとめます。
5回以下では全ての組み合わせを試すことができない証明
まず、満タンの電池3つを見つけるということは、残った3つの電池に空の電池が2つ含まれていることを意味します。
つまり、1度に電池を3つ選び、空の電池2つを探すと言い換えることができます。
6つのうち2つが空の電池なので、そのパターンは全部で15通りです。
電池に1〜6の番号を振ると、次のように表せます。
- 1と2が空
- 1と3が空
- 1と4が空
- 1と5が空
- 1と6が空
- 2と3が空
- 2と4が空
- 2と5が空
- 2と6が空
- 3と4が空
- 3と5が空
- 3と6が空
- 4と5が空
- 4と6が空
- 5と6が空
この15通り全てを5回以内に埋めることができれば、5回以内に懐中電灯をつけることができます。
試しにやってみましょう。
まず1を含む組み合わせを全て試してみます。
1と2と3を選びます。
すると1と2、1と3、2と3の組み合わせを試すことができます。
1と2が空1と3が空- 1と4が空
- 1と5が空
- 1と6が空
2と3が空- 2と4が空
- 2と5が空
- 2と6が空
- 3と4が空
- 3と5が空
- 3と6が空
- 4と5が空
- 4と6が空
- 5と6が空
次に1と4と5を選びます。
すると1と4、1と5、4と5の組み合わせを試すことができます。
1と2が空1と3が空1と4が空1と5が空- 1と6が空
2と3が空- 2と4が空
- 2と5が空
- 2と6が空
- 3と4が空
- 3と5が空
- 3と6が空
4と5が空- 4と6が空
- 5と6が空
次に1と2と6を選びます。
すると1と2、1と6、2と6の組み合わせを試すことができます。
1と2が空1と3が空1と4が空1と5が空1と6が空2と3が空- 2と4が空
- 2と5が空
2と6が空- 3と4が空
- 3と5が空
- 3と6が空
4と5が空- 4と6が空
- 5と6が空
次に3と4と6を選びます。
すると3と4、3と6、4と6の組み合わせを試すことができます。
1と2が空1と3が空1と4が空1と5が空1と6が空2と3が空- 2と4が空
- 2と5が空
2と6が空3と4が空- 3と5が空
3と6が空4と5が空4と6が空- 5と6が空
ここまでで4回です。
残っている組み合わせは次の4つです。
- 2と4
- 2と5
- 3と5
- 5と6
一度に試すことができるのは3通りだけなので、あと1回で残りの4通り全てを試すことはできません。
2と4と5、3と5と6のようにあと2回あれば全ての組み合わせを試すことができます。
以上より、5回以内で全ての組み合わせを試すことはできません。
ここからは具体的に6回で懐中電灯を点ける手順を紹介します。
この方法以外にも6回で満タンの電池を3つ探す方法はあります。
まず、電池に1から6の名前をつけてわかりやすくします。
次に、2つずつのグループに分けます。
この時、3つのグループは次の3つのうちどれかに当てはまります。
- 2つとも満タン （A）
- 1つが満タンもう１つは空 （B）
- 2つとも空 （C）
空の電池は2つなので、3つのグループ構成は次の2つのうちどちらかです。
A・A・C もしくは A・B・B
まず、1と2のグループがAだと仮定し、1と2を両方懐中電灯に入れます。
そして、3と4のグループから1つずつ選び、1回ずつ試します。
両方ともうまくいかなかった場合次のどちらかが考えられます。
- 1と2のグループは両方満タンのグループ（A）ではなかった。
- 3と4のグループは両方空（C）だった。
つまり、この時点で考えられるグループ構成は次のようになります。
- （1・2）B、（3・4）A、（5・6）B
- （1・2）B、（3・4）B、（5・6）A
- （1・2）A、（3・4）C、（5・6）A
次に、3と4のグループが両方満タン（A）だと仮定し、両方懐中電灯に入れます。
そして、5と6のグループから1つずつ選び、1回ずつ試します。
これでもうまくいかなかった場合、B・A・Bの可能性が消えます。
つまり残っている可能性は次の2つです。
- （1・2）B、（3・4）B、（5・6）A
- （1・2）A、（3・4）C、（5・6）A
どちらの場合でも、5と6は両方とも満タンです。
また、1と2のグループはAかBなので、少なくとも満タンの電池が1つあります。
つまり、5と6の電池を両方懐中電灯に入れ、1と2のグループから1つずつ選び、1回ずつ試します。
これでどの2つが空の電池であったとしても、6回以内に懐中電灯をつけることができました。
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