こんにちはブログ担当のYです。
今回は、数学や哲学のパラドックス「眠れる森の美女問題」を紹介します。
これは有名な問題で、さまざまな哲学者や数学者が見解を示しています。
眠れる森の美女問題
以下のような実験を行います。あなたは同意をしていて、どのような実験内容かも事前に把握しています。
まず、あなたは薬を使って眠りにつき、研究者がコインを一枚投げます。
コインが表だった場合、あなたは起こされたあと質問を受けます。
その後もう一度薬を使って眠りにつきます。
コインが裏だった場合、表の時と同様に起こされた後質問を受け、もう一度眠らされます。
そして、その後もう一度起こされ、質問を受け、眠らされます。
最終的にあなたは起こされ、実験は終了です。
薬を使って眠らされた後、あなたは一時的に記憶を失い、実験開始時点からの記憶がありません。
つまり、起こされたのが何回目か覚えていないのです。
そして、質問の内容はすべて同じで、「この実験で投げられたコインが表だとどれくらい信じていますか？」というものです。
あなたはこの質問に対して、どのように答えますか？
※コインは偏りがなく、表と裏は同じ確率で発生します。
解説
この問題には大きく分けて2通りの見解があります。
今回はその2つ、1/2派と1/3派について紹介します。
1/2派
そもそもコインには偏りがなく、表と裏が出る確率は1/2ずつ、目が覚めた時に新しい情報が得られるわけではないため、確率はそのまま1/2である。
というのが1/2派の考え方になります。
1/3派
あなたが目を覚ますという事象について、すべてのパターンを考えます。
・コインは表、起こされたのは1回目
・コインは裏、起こされたのは1回目
・コインは裏、起こされたのは2回目
起こされた時にこれらを区別することは不可能なので、どれも確率は同じはず。
すなわちコインが表だった確率は1/3である。
というのが1/3派の考え方です。
筆者の考え
私は、コインが表だった確率は1/3であると考えています。
ベイズ推定という考え方があります。
ベイズ推定（ベイズすいてい、英: Bayesian inference）とは、ベイズ確率の考え方に基づき、観測事象（観測された事実）から、推定したい事柄（それの起因である原因事象）を、確率的な意味で推論することを指す[1]。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%A4%E3%82%BA%E6%8E%A8%E5%AE%9A
ベイズ確率（ベイズかくりつ、英: Bayesian probability）とは、確率の概念を解釈したもので、ある現象の頻度や傾向の代わりに、確率を知識の状態[1]を表す合理的な期待値[2]、あるいは個人的な信念の定量化と解釈したものである[3]。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%A4%E3%82%BA%E7%A2%BA%E7%8E%87
これのわかりやすい例を挙げてみましょう。
目の前にAとBという箱があります。
その中にいくつかボールが入っています。
Aには赤いボールが1つ、青いボールが2つ。
Bには赤いボールが3つ
あなたは目隠しをして、AとBどちらかの箱からボールを一つだけ取り出しました。
目隠しを外すと、それは赤いボールでした。
さて、あなたがボールを取り出したのがAの箱だった確率はどれくらいですか？
この問題を考える際に「観測事象」は何かを考えます。
この場合だと「赤いボールを取り出した」という事象になります。
そこから「推定したい事柄」である、「Aから取り出した確率」を求めていきます。
まず、この問題が始まる前、ランダムにボールを取り出すと考えた時、次の3通りの事象が考えられます。
・Aから赤いボールを取り出す
・Aから青いボールを取り出す
・Bから赤いボールを取り出す
それぞれの確率はボールの個数によって次のように決まります。
・Aから赤いボールを取り出す（1/6）
・Aから青いボールを取り出す（1/3）
・Bから赤いボールを取り出す（1/2）
これは問題が始まる前の「事前確率」です。
これを観測事象に基づいて「事後確率」に更新します。
「赤いボールを取り出した」という観測事象から、2つ目のAから青いボールを取り出すという事象を除外することができます。
すると残るのは以下の2つになります。
・Aから赤いボールを取り出す（1/6）
・Bから赤いボールを取り出す（1/2）
この2つの確率を足すと、2/3になるので、それに合わせて条件付き確率を考えます。
・Aから赤いボールを取り出す 1/6 * 3/2 = 1/4
・Bから赤いボールを取り出す 1/2 * 3/2 = 3/4
したがって、取り出したボールがAの箱からだった確率は1/4になります。
眠れる森の美女問題を同じように考える時、次のような仮定を考えます。
あなたが質問をされる前に「今あなたが起こされたのは○回目です。」という情報が与えられます。
するとどうでしょう、もし「1回目です」と言われたら、確率は1/2のように感じませんか？
また、「2回目です」と言われたら確率は0で確定します。（表の場合は1回しか起こされない）
これをベイズ推定に当てはめると次のようになります。
観測事象は「あなたが起こされたのは1回目と言われる」
事前確率として、次のように考えていた。
・コインは表、起こされたのは1回目（1/3）
・コインは裏、起こされたのは1回目（1/3）
・コインは裏、起こされたのは2回目（1/3）
1回目と言われたので、2回目を除外して考える。
・コインは表、起こされたのは1回目（1/3）
・コインは裏、起こされたのは1回目（1/3）
確率を足すと2/3、条件付き確率を考える
・コインは表、起こされたのは1回目 1/3 * 3/2 = 1/2
・コインは裏、起こされたのは1回目 1/3 * 3/2 = 1/2
つまり、起こされたのは1回目です、と言われたことで1/2になるのなら、逆説的に何も言われなかった時は1/3であったはずと考えられます。
仮に、初めから1/2であったとすると、1回目と言われても何も変わらないか、1回目と言われると表の確率が2/3になる、のどちらかになります。
どちらもあまり直感的ではないので、私は1/3だと考えています。
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