こんにちはブログ担当のYです。
今回も論理クイズを紹介します。
2種類の偽物コイン
あなたはコインを選別する仕事をしています。
今日は5ヶ所のコイン工場から100枚ずつコインが送られてきました。
本物のコインは金でできていて、1枚10グラムですが、いくつかの工場で偽物のコインを作っているという噂を聞きました。
偽物のコインは9グラムか、11グラムのどちらかだとわかっています。
各工場から送られてきたコインはそれぞれ、「すべて本物」か「すべて偽物」のどちらかです。
1グラム単位でピッタリ測定できる、魔法のはかりを1度だけ使うことができます。
どのようにすれば、5ヶ所すべての工場から送られてきたコインを偽物と本物に分けることができるでしょう？
ヒント
それぞれの工場製のコインを、A,B,C,D,Eとして考えます。
仮に、Aから1枚、Bから2枚、Cから3枚、Dから4枚、Eから5枚取り出して測ってみましょう。
すべて本物だった場合、全部で15枚なので150グラムになるはずです。
では、ここで147グラムだった場合、どの工場のコインが偽物でしょうか？
・AとBのコインが9グラムの偽物コインでC,D,Eのコインは本物
・Cのコインが9グラムの偽物コインで、A,B,D,Eのコインは本物
・Bのコインが9グラムの偽物コインでEのコインが11グラムの偽物コインで、A,C,Dのコインは本物
このように、いくつものパターンが考えられてしまうので、この測り方ではうまくいきません。
では、2進数ではどうでしょうか？
Aから1枚、Bから2枚、Cから4枚、Dから8枚、Eから16枚取り出して、合計31枚のコインをはかりに乗せます。
全部本物なら310グラムになるはずです。
ここで、314グラムだった場合、どうなるでしょうか？
・Cが11グラムのコインで、他は本物
・Cが9グラムのコイン、Dが11グラムのコインで他は本物
まだ2パターン以上考えられてしまいます。
実は、偽物のコインが1種類だけなら2進数の考え方でうまくいくのですが、2種類も偽物があるのでうまくいきませんでした。
答え
Aから1枚、Bから3枚、Cから9枚、Dから27枚、Eから81枚のコインを取り出してはかる
解説
ヒントでは、2進数で考えてみましたが、うまくいきませんでした。
今回の問題では、「本物のコイン」「重いコイン」「軽いコイン」の3つの可能性があるので、3進数を使って考えていきます。
Aのコインを1枚、Bのコインを3枚、Cのコインを9枚、Dのコインを27枚、Eのコインを81枚取り出します。
このようにすると、偽物を特定することが可能です。
全部で121枚のコインを使うので、全部本物なら1210グラムになります。
これが、1280グラムだったと仮定します、すべて本物の場合より70グラムも重いです。
偽物のコインを見つけ出す
各工場のコインが軽い、重い、本物のいずれかなので、-1, +1, -3, +3, -9, +9, -27, +27, -81, +81のを組み合わせて+70を作れば良いです。
本物のコインの場合、±0なので、使わない数字があった場合、その工場のコインは本物です。
まず、1、3、９、27をすべて足しても70に届かないため、+81は必須です。
次に27について考えますが、+27の場合、合計は+108になり、残った1、3、９で-38を作る必要ができてしまうためあり得ません。
-27の場合、合計は+54になり、残った1、3、９で+16を作る必要ができてしまうためこれもあり得ません。そのため±0です。
次に9です。+9の場合、合計は+90になり、残った1と3だけでは+70にすることはできないためあり得ません。
-9の場合、合計は72になり、残った1と３で−2は作れそうです。
±0の場合、合計は+81のままで、残った１と3だけでは+70にすることはできません。
従って、9の部分は-9だとわかります。
残った1と3で+72を+70にするには、-3と+1しかありません。
これらをまとめると、1 - 3 - 9 + 0 + 81 = 70 となります。
この情報から偽物のコインを見つけます。
マイナスの部分は軽い偽物、プラスの部分は重い偽物、0の部分は本物です。
つまり、Aのコインは重い偽物、Bのコインは軽い偽物、Cのコインは軽い偽物、Dのコインは本物、Eのコインは重い偽物です。
どのような重さだとしても、同じようにするとどの工場のコインが偽物か見つけ出すことができます。
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