こんにちはブログ担当のYです。
今回も論理クイズを紹介します。
勝率と試合数
AさんとBさんは1日中テニスの試合をしていました。
Aさんは自分の勝敗を記録していて、その日のうちに5回、
それまでの勝率を計算しました。その結果、勝率はぴったり30%・40%・50%・60%・70% のいずれかになっていました。
（ただし、この順番で計算したとは限りません。）さて、この日行われた試合数のうち、
考えられる最小の試合数 は何試合でしょうか？
答え
30試合
解説
まず、記録された5回の勝率を分数で表してみましょう。
30% = 3/10
40% = 2/5
50% = 1/2
60% = 3/5
70% = 7/10
これ以上約分できない形にすると、30％と70％はそれぞれ3/10と7/10になり、分母が10です。
つまり、この2つの勝率を記録した時点では、試合数は10の倍数だったことがわかります。
試合数が10の倍数だった地点が2回あるため、少なくとも20試合はしていたことがわかります。
最小試合数が20試合と仮定して考えてみましょう。
30％と70％の勝率を記録するには、試合数が10の倍数である必要があるため、10試合地点、20試合地点それぞれで、30％と70％の勝率を記録したはずです。
2通りとも確認してみましょう。
10試合地点で30％の場合
10試合したところで勝率30％、20試合したところで勝率70％と仮定します。
最初の10試合でAさんは3回勝ちました。（3/10 = 30%）
そして、20試合したところで合計14勝でした。（14/20 = 70%）
しかし、11試合目から20試合目の10試合で11回勝つことはできないため、このパターンは実現不可能です。
10試合地点で70％の場合
10試合したところで勝率70％、20試合したところで勝率30％と仮定します。
最初の10試合でAさんは7回勝ちました。（7/10 = 70%）
そして、20試合したところで合計6勝でした。（6/20 = 30%）
しかし、11試合目から20試合目の10試合で勝ち数を減らすことはできないため、このパターンも実現不可能です。
両方とも確認したところ、実現不可能なようです。
つまり、試合数が10の倍数になる地点が2つしかないと、30％と70％の勝率を両方記録することはできないことがわかりました。
よって、次に考えられる最小試合数は30試合です。
30試合なら、10試合地点、20試合地点、30試合地点の3つの地点で試合数が10の倍数になります。
その3つのうちどこかで30％と70％の勝率を記録することができれば良いです。
ただ、10試合地点と20試合地点の2つで記録することができないことは既にわかっています。
そのため、おそらく10試合地点と30試合地点で記録する必要があると考えられます。
10試合地点で30％の場合
10試合したところで勝率30％、30試合したところで勝率70％と仮定します。
最初の10試合でAさんは3回勝ちました。（3/10 = 30%）
そして、30試合したところで合計21勝でした。（21/30 = 70%）
つまり、Aさんは11試合目から30試合目の20試合のうちに、18回勝ったことになります。
これは実現可能です。
10試合地点で70％の場合
10試合したところで勝率70％、30試合したところで勝率30％と仮定します。
最初の10試合でAさんは7回勝ちました。（7/10 = 70%）
そして、30試合したところで合計9勝でした。（9/30 = 30%）
つまり、Aさんは11試合目から30試合目の20試合のうちに、2回勝ったことになります。
これは実現可能です。
30試合の場合、どちらも実現可能なようです。
後は残りの40％、50％、60％の勝率をどこかで記録することができれば、最小試合数が30試合であることが証明できます。
残り3つの勝率も、もう一度分数に直してみましょう。
40% = 2/5
50% = 1/2
60% = 3/5
つまり、40％と60％の勝率を記録するには、試合数が5の倍数である必要があります。
50％の勝率を記録するには、試合数が2の倍数である必要があります。
では、仮に10試合地点で勝率が30％の場合で、残りの3つの勝率を記録できるかどうか考えてみましょう。
勝率40％を記録できる地点
40% = 2/5なので、試合数は5の倍数である必要があります。
10試合地点と30試合地点は既に30％と70％の勝率を記録しているため、残りは次の４地点です。
5試合地点、15試合地点、20試合地点、25試合地点
それぞれ必要な勝利数を考えてみましょう。
5試合地点‥‥‥5 x 2/5 = 2なので、必要勝利数は2勝です。
15試合地点‥‥‥15 x 2/5 = 6なので、必要勝利数は6勝です。
20試合地点‥‥‥20 x 2/5 = 8なので、必要勝利数は8勝です。
25試合地点‥‥‥25 x 2/5 = 10なので、必要勝利数は10勝です。
現在決まっている勝率を確認してみましょう。
0試合地点（0勝0敗）
10試合地点（3勝7敗）
30試合地点（21勝9敗）
5,15,20,25試合地点の候補をこの間に差し込めるか考えてみると、5,15は可能で、20と25は不可能です。
5試合で2勝→10試合で3勝（5試合で1勝は可能）
10試合で3勝→15試合で6勝→30試合で21勝（5試合で3勝、15試合で15勝は可能）
10試合で3勝→20試合で8勝→30試合で21勝（10試合で5勝は可能、10試合で13勝は不可能）
10試合で3勝→25試合で12勝→30試合で21勝（15試合で9勝は可能、5試合で9勝は不可能）
勝率60％を記録できる地点
60% = 3/5なので、試合数は5の倍数である必要があります。
10試合地点と30試合地点は既に30％と70％の勝率を記録しているため、残りは次の４地点です。
5試合地点、15試合地点、20試合地点、25試合地点
それぞれ必要な勝利数を考えてみましょう。
5試合地点‥‥‥5 x 3/5 = 3なので、必要勝利数は3勝です。
15試合地点‥‥‥15 x 3/5 = 9なので、必要勝利数は9勝です。
20試合地点‥‥‥20 x 3/5 = 12なので、必要勝利数は12勝です。
25試合地点‥‥‥25 x 3/5 = 15なので、必要勝利数は15勝です。
現在決まっている勝率を確認してみましょう。
0試合地点（0勝0敗）
10試合地点（3勝7敗）
30試合地点（21勝9敗）
5,15,20,25試合地点の候補をこの間に差し込めるか考えてみると、5,20は可能で、15と25は不可能です。
5試合で3勝→10試合で3勝（5試合で0勝は可能）
10試合で3勝→15試合で9勝→30試合で21勝（5試合で6勝は不可能、15試合で12勝は可能）
10試合で3勝→20試合で12勝→30試合で21勝（10試合で9勝、10試合で9勝は可能）
10試合で3勝→25試合で15勝→30試合で21勝（15試合で12勝は可能、5試合で6勝は不可能）
勝率50％を記録できる地点
50% = 1/2なので、試合数は2の倍数である必要があります。
50％を記録できる地点はたくさんありますが、全て列挙する必要はありません。
2試合地点で1勝していれば、勝率50％を記録することができます。
現在考えられる2試合地点と次の記録地点は、5試合目で勝率40％（2/5）、5試合目で勝率60％（3/5）、10試合目で勝率30％（3/10）の3つです。
2試合地点で1勝というのは、次がこの3つのどれだとしても全て実現可能なため、勝率50％を記録することは可能であることがわかりました。
2試合で1勝→5試合で2勝（3試合で1勝は可能）
2試合で1勝→5試合で3勝（3試合で2勝は可能）
2試合で1勝→10試合で3勝（3試合で2勝は可能）
では、勝率50％は2試合地点で記録することで他の記録地点と矛盾なく実現可能だとわかったため、40％と60％をうまく組み合わせることができるかを確認します。
勝率40％と60％の地点の組み合わせ
勝率40％を記録できる地点は、次の2つです。
5試合地点で2勝（2/5 = 40%）
15試合地点で6勝（6/15 = 40%）
勝率60％を記録できる地点は、次の2つです。
5試合地点で3勝（3/5 = 60%）
20試合地点で12勝（12/20 = 60%）
2つずつの組み合わせなので、全部で4通りですが、5試合地点同士を組み合わせることはできないため、3通りです。
現在確定している記録地点と通して矛盾がないか全部確認してみましょう。
0試合で0勝
2試合で1勝（50%）
5試合で2勝（40%）
10試合で3勝（30%）
20試合で12勝（60%）
30試合で21勝（70%）
矛盾がなく、実現可能です。
0試合で0勝
2試合で1勝（50%）
5試合で3勝（60%）
10試合で3勝（30%）
15試合で6勝（40%）
30試合で21勝（70%）
矛盾がなく、実現可能です。
0試合で0勝
2試合で1勝（50%）
10試合で3勝（30%）
15試合で6勝（40%）
20試合で12勝（60%）
30試合で21勝（70%）
15試合地点で6勝→20試合地点で12勝というのは、5試合で6勝する必要があるため、実現不可能です。
以上より、30%、40%、50%、60%、70%の勝率を記録するために必要な、最低試合数は30試合であることがわかり、30試合で実現可能なパターンも見つかりました。
勝率50％を記録する場所はもっとたくさんあるため、解答パターンについてはさまざまな別解があります。
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