こんにちはブログ担当のYです

今回も論理クイズを紹介します

施錠された箱

あるお屋敷に1人の主人と4人の召使いがいました

主人には大事な箱があり鍵をかけて保管していました

ある日主人は鍵の管理方法を次のように変えたいと思いました

・箱には複数の鍵をかける

・主人と少なくとも1人の召使いがいれば全ての鍵が開けられる

・少なくとも3人の召使いがいれば全ての鍵が開けられる

2人以下の召使いだけで全ての鍵を開けられてはいけません

この時、箱には少なくともいくつの鍵をかける必要があるでしょうか

Puzzling.stackexchange[The Puzzle of the Locked Box]

ヒント

・主人と少なくとも1人の召使いがいれば全ての鍵が開けられる

この条件を満たすことをまず考えてみる

例えば箱に1、2、3、4の4つの鍵をかけるとすると

1、2、3の鍵を主人が管理し、召使い全員に4の鍵を管理させることでこの条件を満たすことができる

答え

7つ

条件を整理して鍵の最少数を考えていきます

  1. 召使い2人以下だけで全ての鍵がそろってはいけない
  2. 少なくとも3人の召使いで全ての鍵が揃う
  3. 主人と少なくとも1人の召使いで全ての鍵が揃う

1番の条件から考えていきます

召使い2人以下で全ての鍵が揃ってはいけない

召使い2人を選ぶ選び方は召使いをA、B、C、Dとすると(AB)、(AC)、(AD)、(BC)、(BD)、(CD)の6通りあります

召使い2人で全ての鍵が揃わないということは、上記のどのペアを選んだとしても足りない鍵が少なくとも1つはあるということです

少なくとも3人の召使いで全ての鍵が揃う

少なくとも3人の召使いで全ての鍵が揃うということは、「3人が持っていない鍵」が存在しないことを意味します

条件1で出てきた6つのペアから、2つのペアを選ぶことを考えます

選んだ2つのペアそれぞれに足りない鍵がありますが、これは別々である必要があります

例えば(AB)のペアと(BC)のペアを選ぶことを考えてみましょう

(AB)のペアは1番の鍵が足りず、(BC)も1番の鍵が足りないとします

すると(ABC)の3人を選んだ時1番の鍵が足りず、全ての鍵を開けることができなくなってしまいます

つまり条件1で考えた6つのペアそれぞれにある「足りない鍵」はそれぞれ別々である必要があります

それは少なくとも6つの鍵が必要であることも意味します

  • AB……1番の鍵が足りない
  • AC……2番の鍵が足りない
  • AD……3番の鍵が足りない
  • BC……4番の鍵が足りない
  • BD……5番の鍵が足りない
  • CD……6番の鍵が足りない

上のリストを見てABCDそれぞれの持っている鍵の番号を考えてみましょう

Aの持っている鍵

  • AB……1番の鍵が足りない
  • AC……2番の鍵が足りない
  • AD……3番の鍵が足りない

Aはこの3つに属します

つまり1、2、3の鍵を持っていません

残りの3つ4、5、6の鍵を持っています

Bの持っている鍵

  • AB……1番の鍵が足りない
  • BC……4番の鍵が足りない
  • BD……5番の鍵が足りない

Aはこの3つに属します

つまり1、4、5の鍵を持っていません

残りの3つ2、3、6の鍵を持っています

Cの持っている鍵

  • AC……2番の鍵が足りない
  • BC……4番の鍵が足りない
  • CD……6番の鍵が足りない

Aはこの3つに属します

つまり2、4、6の鍵を持っていません

残りの3つ1、3、5の鍵を持っています

Dの持っている鍵

  • AD……3番の鍵が足りない
  • BD……5番の鍵が足りない
  • CD……6番の鍵が足りない

Aはこの3つに属します

つまり3、5、6の鍵を持っていません

残りの3つ1、2、4の鍵を持っています

したがって4人の持っている鍵を整理すると次のようになります

  • A……4、5、6
  • B……2、3、6
  • C……1、3、5
  • D……1、2、4

これによってどの3人を選んでも1〜6番の全てが揃い、どの2人を選んでも1〜6が揃うことはありません

主人と少なくとも1人の召使いで全ての鍵が揃う

上で見た通り召使いの誰を選んでも1〜6の鍵は持っていない可能性があります

つまり主人は1〜6の鍵を全て持っている必要があります

しかし主人1人で鍵を全て開けることができてはいけないため、もうひとつ鍵をかける必要が出てきました

主人は1〜6の全ての鍵を持ち、新たに7番の鍵を追加します

7番の鍵は召使い全員に持たせることによって主人とどの召使いの組み合わせでも全ての鍵が揃うようになります

したがって必要な鍵の個数は7個

全員が持っている鍵の組み合わせは以下のようになります

  • 主人…………1、2、3、4、5、6
  • 召使いA……4、5、6、7
  • 召使いB……2、3、6、7
  • 召使いC……1、3、5、7
  • 召使いD……1、2、4、7

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