論理クイズ 割れないタマゴ

割れないタマゴ

あなたはタマゴを2つ持っていて、それを100階建ての建物から落とす場合、何階までなら割れないか確かめようとしています

タマゴが割れない最高の階数を見つけたい時、最大で何回タマゴを落とす必要があるでしょう?

※タマゴを落として割れなかった場合、そのタマゴを再利用する事ができる

※タマゴを落として割れてしまった場合、それより上の階から落としてもタマゴは割れる

※タマゴを落として割れなかった場合、それより下の階から落としてもタマゴは割れない

※全てのタマゴは全く同じ強度であり、割れる階層も同じである

Puzzle | Set 35 (2 Eggs and 100 Floors)

タマゴが1つしかない場合は1度も失敗できないので1階から順番に試していく必要があるので最大100階落とす必要があります

1回までなら失敗して良い場合なら何回まで減らす事ができるのでしょうか

答え

最大14回

解説

まず、タマゴは2つあるので1階は割れてしまっても大丈夫という事です
つまり1つ目の卵は大体何階くらいでタマゴが割れるのか調べるために使う事ができます

試しに10階ごとに区切って調べるとする
10階から落として割れなかったら20階へ、割れたら1階から9階を順番に調べる
20階から落として割れなかったら30階へ、割れたら11階から19階を順番に調べる…
という風にしていくと99階まで割れない場合が最大となり19回調べる必要があります(10、20、30、40、50、60、70、80、90、100”割れる”、91…99)

調べる回数を一定にするためには区切る階数を減らしていく必要があります
最初はN階から落としてその次は(N-1)階上から落として…という風にすると最大でN回調べることで答えがわかります

(N+(N-1)+(N-2)+(N-3)+…+1) ≧ 100
つまり1からNの合計が100を超える最小の整数Nを求めれば良いので

1/2 × (N × (N + 1)) ≧ 100
      (N × (N + 1)) ≧ 200
            N^2 + N ≧ 200
  (N + 1/2)^2 - 1/4 ≧ 200
        (N + 0.5)^2 ≧ 200.25
            N + 0.5 ≧ 14.15…
                  N ≧ 13.65…

これを満たす最小の整数Nは14なので答えは14回

具体的な手順は14階からタマゴを落とす、割れなかったら+13階の27回からタマゴを落とす、割れたら1階から13階まで順にタマゴを落とす
27階で割れなかったら次は+12階の39階からタマゴを落とす、割れたら14階から26階まで順にタマゴを落とす……

というように14、27、39、50、60、69、77、84、90、95、99、100という順に区切っていき、割れたら割れなかった階のひとつ上から1階ずつ落として確かめていく方法です
これなら最大14回調べることでタマゴが割れない最高の階数がわかります

調べる回数が最大となるのは割れない最高の階が(13、26、38、49、59、68、76、83、89、94、98)階の場合です

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