こんにちはブログ担当のYです
今回も論理クイズを紹介します
風船割りゲーム
たくさんの風船を持ったピエロがあなたにこんなゲームを持ちかけてきました
・順番に幾つかの風船を割っていき、最後の風船を割ったら勝ち
・最初のターンですべての風船を割ることはできない
・それ以降のターンは、直前のターンで相手が割った風船の数までの好きな数の風船を割ることができる（ひとつも割らないのはダメ）
あなたはゲームの開始前にこっそり風船の数を数えてみました
すると風船は全部で96個あるようです
ピエロはあなたに先攻か後攻か選択するよう言ってきました
さてあなたは先攻を選ぶべきでしょうか、それとも後攻を選ぶべきでしょうか
また、その時何個の風船を割ったら良いでしょうか
Puzzling Stackexchange [Pop the Last Balloon]
ヒント
風船の数が奇数個の場合、1個だけ風船を割れば勝てる
例えば風船の数が5個だった場合、先攻を選んで風船を1個だけ割ります
すると残りが4個で相手は風船を1個までしか割ることができません
ひとつも割らないのはできないため、「相手は風船を1個割る」以外のことはできません
そして風船が3個の状態であなたのターンになり、あなたも同じように風船を1個割ることしかできません
残り2個で相手が1個割り、最後の1個をあなたが割って勝利します
したがって風船の残りが奇数個の時にターンが回ってくると勝利します
答え
先攻を選び、32個の風船を割る
解説
まず、風船が奇数個あった場合を考えます
風船が奇数個の場合
この場合は先攻を選び、1つだけ風船を割ります
すると偶数個の風船が残った状態で相手のターンになります
そして相手は風船を1つしか割ることができないため、また奇数個の風船が残った状態であなたのターンになります
これを繰り返していくと風船が1つだけ残った状態であなたのターンになり、最後の風船を割ってあなたの勝利になります
つまり「風船を奇数個残して割る」と負けてしまうことがわかりますね
次に風船が偶数個残っている場合を考えます
風船の個数が偶数の場合
風船の個数が偶数個のとき、1つだけやってはいけないことがあります
それは「奇数個の風船を割る」ことです
なぜなら奇数個の風船を割ると相手のターンに奇数個の風船が残ってしまうからです
奇数個の風船を残してしまうとゲームに負けてしまうため、風船の数が偶数個のときは奇数個の風船を割ってはいけません
お互いに偶数個の風船を割ることがわかっている場合、風船を2つずつのブロックとして考えることができます
例えば風船が14個ある場合を考えます
この状態でお互いに奇数個の風船を割ることはないため、14個の風船を2個ずつ7ブロックとして考えることができます
7ブロックの内最後のブロックを割った方がゲームに勝利します
すると上で解説した奇数個の風船が残っている場合と同じ考え方ができます
奇数ブロック残っている場合、先攻を選び1ブロックだけ割ることで最後の1ブロックを割り、勝利することができます
つまり2個で1ブロックとしたときに奇数ブロック残してしまうと負けてしまうことがわかりました
例外的に、初期の風船が2個しかない場合、後攻を選ぶことで勝利します
相手はすべての風船を一度に割ることはできないため1つだけ風船を割ります
すると残りの1つをあなたが割り、ゲームに勝利します
次に2個ずつ1ブロックとして考えたときに偶数ブロックある場合を考えます
2個ずつ1ブロックとしたときに偶数ブロックある場合
例えば風船の数が20個の場合、2個ずつ1ブロックとして考えると10ブロックあることになります
また、ここで1つだけやってはいけないことがあります
それは「奇数ブロックの風船を割る」ことです
なぜなら風船が奇数ブロック残ってしまい、上で解説した「2個で1ブロックとした時に奇数ブロック残す」場合になってしまうからです
奇数ブロックの風船を残すと負けてしまうため、お互いに偶数ブロックの風船を割ります
お互いに偶数ブロックの風船を割ることがわかっている場合、風船をさらに4個で1つのブロックとして考えることができます
仮にこれをブロックαと呼ぶことにします
風船が20個の場合は5ブロックαあることになります
ここでも奇数個の時と同じ考え方ができます
奇数ブロックα残っている場合、先攻を選び1ブロックαだけ割ることで最後の1ブロックαを割り、勝利することができます
つまり4個で1ブロックαとしたとき、奇数ブロックα残すと負けてしまうことがわかりました
例外的に、初期の風船が4個しかない場合、後攻を選ぶことで勝利します
4個を2ブロックとして考えます
相手は2つすべてのブロックを一度に割ることはできないため1ブロックだけ風船を割ります
すると残りの1ブロックをあなたが割り、ゲームに勝利します
次に4個を1ブロックαとした時に偶数ブロックαある場合を考えます
4個を1ブロックαとした時に偶数ブロックαある場合
例えば風船の数が24個の場合、4個ずつ1ブロックαとして考えると6ブロックあることになります
また、ここで1つだけやってはいけないことがあります
それは「奇数ブロックαの風船を割る」ことです
なぜなら風船が奇数ブロックα残ってしまい、上で解説した「4個で1ブロックαとした時に奇数ブロックα残す」場合になってしまうからです
奇数ブロックの風船を残すと負けてしまうため、お互いに偶数ブロックαの風船を割ります
お互いに偶数ブロックαの風船を割ることがわかっている場合、風船をさらに8個で1つのブロックとして考えることができます
仮にこれをブロックβと呼ぶことにします
風船が24個の場合は3ブロックβあることになります
ここでも奇数個の時と同じ考え方ができます
奇数ブロックβ残っている場合、先攻を選び1ブロックβだけ割ることで最後の1ブロックβを割り、勝利することができます
つまり8個で1ブロックβとしたとき、奇数ブロックβ残すと負けてしまうことがわかりました
例外的に、初期の風船が8個しかない場合、後攻を選ぶことで勝利します
8個を2ブロックαとして考えます
相手は2つすべてのブロックαを一度に割ることはできないため1ブロックαだけ風船を割ります
すると残りの1ブロックαをあなたが割り、ゲームに勝利します
同じように、16個を1ブロックγ、32個を1ブロックδと考え、あなたのターンでは考えられる1番大きなブロックが偶数ブロック残るように風船を割ることでゲームに勝利できます
96個の風船は32個を1ブロックδと考えると3ブロックδとなります
これを偶数残るようにするには1ブロックδ（32個）割る必要があります
相手は1〜32個の好きな数の風船を割ることができますが、何個の風船を割ったとしてもいずれかのブロックで考えた時に奇数ブロック残ります
あなたはそれを偶数ブロックになるよう風船を割ることで、常に相手のターンでは偶数ブロック、あなたのターンでは奇数ブロックの風船が残ることになります
したがって最後の風船を割ることができるのはあなたになります
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96個の時、あなたが風船を32個を割るので残りは64個。
ここで相手が2個割ったら、残りは62個。
あなたが割れるのは1個か2個なので、相手が勝つのでは？
コメントありがとうございます。
解法にある通り、「残り64個の状態で相手が2個の風船を割る」のは、2個を1つのブロックとして見た時に、1ブロック、つまり奇数ブロックの風船を割る行為に該当します。
したがって、相手が奇数ブロックを割ってきたので、自分も同じように割ることで勝利できます。
具体的には、次のようになるはずです。
最初96個 自分が32個割る。
残り64個 相手が2個割る。
残り62個 自分が2個割る。
残り60個 相手が2個割る。
残り58個 自分が2個割る。
このように続けていくと、常に偶数個の風船が残っているので、お互いに風船を1個だけ割ることができず、このまま続けると、残り2個の状態で自分の番が来るので勝利することができます。
残り64個の状態で、相手は一度に32個まで風船を割ることができます。
残り64個というのは、以下のように捉えることができます。
1個1ブロックとして64ブロック
2個1ブロックとして32ブロック
4個1ブロックとして16ブロック
8個1ブロックとして8ブロック
16個1ブロックとして4ブロック
32個1ブロックとして2ブロック
この状態では、相手は風船をいくつ割っても、いずれかのパターンで奇数ブロックの風船を割ることになります。
いただいたコメントの風船を2個割るというのは、2個1ブロックとして数えた時、1ブロックだけ割ることにあたります。
つまり残り31ブロックなので、これを偶数ブロック残るように、自分も風船を2個割ることで勝利できます。