こんにちはブログ担当のYです。

今回も論理クイズを紹介します。

アリスはどこに住んでいる?

アリス、ボブ、チャーリーの3人は1から99の番号が付けられた99軒の家がある地域に住んでいます。

全員がお互いの住んでいる家を知りません。

ボブはアリスが住んでいる家を知りたいと思い、質問をしました。

ボブ「アリスが住んでいる家は平方数の番号の家ですか?」

アリスはそれに答えました。

ボブ「アリスが住んでいる家は50より大きい番号の家ですか?」

アリスはそれに答えました。

するとボブはアリスの家の番号がわかったと言い、その家を訪ねにいきました。

しかし実際にはアリスは1つ目の質問に対し嘘をついていたため、ボブはアリスの家を間違えてしまいました。

次にチャーリーがアリスに質問しにきました。

チャーリー「アリスが住んでいる家は立方数の番号の家ですか?」

アリスはそれに答えました。

チャーリー「アリスが住んでいる家は25より小さい番号の家ですか?」

アリスはそれに答えました。

するとチャーリーはアリスの家の番号がわかったと言い、その家を訪ねにいきました。

しかし実際にはアリスは1つ目の質問に対し嘘をついていたため、チャーリーはアリスの家を間違えてしまいました。

実際のアリスの家の番号はボブの家の番号とチャーリーの家の番号よりも小さく、3人の家の番号を合計すると平方数の2倍になります。

アリスの家の番号はいくつでしょう?

※アリスは1つ目の質問に対し嘘をついていますが、それぞれ2つ目の質問に対しては真実を話しています。

平方数 ‥‥‥‥ ある数字の2乗で表せる数字(例)1、4、9、16、25、36等

立方数 ‥‥‥‥ ある数字の3乗で表せる数字(例)1、8、27、64、196等

Puzzling StackExchange[Living next door to Alice]

ヒント

当然のことながら、ボブとチャーリーはそれぞれ自分が住んでいる家の番号を知っています。

また、その自分の家の番号はアリスの家の番号でないことも知っています。

つまりアリスへの質問で候補が2つまで絞れてそのうちの1つが自分の家だった場合、残りの1つがアリスの家であると確信するはずです。

例えば、ボブの質問について考えてみましょう。

「アリスの家の番号は平方数ですか?」

「アリスの家の番号は50より大きいですか?」

この質問に対し、アリスの答えとして考えられるのは、(はい/はい)(はい/いいえ)(いいえ/はい)(いいえ/いいえ)の4通りです。

はい/はいの場合

50より大きく、99以下の平方数は64、81の2通りです。

はい/いいえの場合

1以上50以下の平方数は、1、4、9、16、25、36、49の7通りです。

いいえ/はいの場合

50より大きく、99以下の平方数でない数は、47通りあります。

いいえ/いいえの場合

1以上50以下の平方数でない数は43通りあります。

これを見るとわかるように、2通り以下に絞り込めるのはアリスが(はい/はい)と答えた時のみです。

そしてボブの家が64か81のどちらかであったため、ボブはアリスの家が残りの1つだと思い、訪ねていったという訳です。

答え

アリスの家の番号は55

解説

まず、ヒントで説明したように、ボブの質問に対してアリスは(はい/はい)と答えました。

そしてボブは自分が64か81のどちらかに住んでいるため、残りの1つがアリスの家だと思いました。

実際にはアリスは1つ目の質問で嘘をついています。

つまりアリスの家は50より大きい平方数でない数です。

次にチャーリーですが、ボブと同じように考えます。

チャーリーの2つの質問でアリスの家の候補が2つ以下に絞り込める状況を考えます。

「アリスの家の番号は立方数ですか?」。

「アリスの家の番号は25より小さいですか?」。

ここで、2つ目の質問ですがアリスの家は50より大きい平方数でない数だとわかっています。

つまり2つ目の質問「25より小さいですか?」に対しては必ず「いいえ」と答えるはずです。

はい/いいえの場合

25以上の立方数は27、64の2通りです。

いいえ/いいえの場合

25以上の立方数でない数は73通りです。

以上より、チャーリーの質問に対しアリスは(はい/いいえ)と答えたとわかります。

そしてチャーリーは27番か64番に住んでいたため、残りの1つがアリスの家だと思い、訪ねていきました。

実際にはアリスは1つ目の質問で嘘をついています。

つまりアリスの家の番号は25以上の立方数でない数です。

ここで、問題の最後の条件を確認しましょう。

・アリスの家の番号はボブとチャーリーの家の番号より小さい

・3人の家の番号を合計すると平方数の2倍になる

ボブの家の番号は64か81です。

チャーリーの家の番号は27か64です。

アリスの家の番号は50より大きいため、それより大きいチャーリーの家の番号が27になることはできません。

つまりチャーリーの家の番号は64、ボブの家の番号は81だとわかります。

それを合計すると145、ここにアリスの家の番号を合計すると平方数の2倍になるという訳です。

ここまでの情報でアリスの家の番号は51〜63であることがわかっています。(チャーリーの家が64であるため)

つまり3人の家の番号の合計は196〜208です。

つまり98〜104の中にある平方数を探せば良いことがわかります。

平方数は小さい順に1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121…と続きます。

98〜104の間の平方数は100だけです。

つまり3人の家の番号の合計は100の2倍で200

アリスの家の番号は200 - 145 =55です。

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