こんにちはブログ担当のYです。
今回も論理クイズを紹介します。
お小遣い争奪オセロバトル
太郎くんはお父さんとお母さんとお小遣いをかけてオセロで対戦することになりました。
ルールは次のとおりです。
- 合計で5試合行う。
- 太郎くんがお父さんとお母さんと交互に戦う。
- 5試合のうちどこかで2連勝したらお小遣いがもらえる。
太郎くんがお父さんに勝つ確率は30％です。
太郎くんがお母さんに勝つ確率は60％です。
最初に太郎くんはお父さんとお母さんのどちらと戦うか選ぶことができます。
どちらから始めるのがお小遣いがもらえる確率が高いでしょう？
答え
お父さん
解説
お母さんから始めた方が、勝つ確率の高いお母さんと多く対戦できるため、その方が良さそうに思えます。
しかし、確率は直感とは違います。
2つの場合でそれぞれ考えてみましょう。
まず、お母さんから始めた場合です。
最初にお母さんと戦う場合
試合の順番は次のようになります。
母→父→母→父→母
それでは、お小遣いがもらえる確率を求めていきましょう。
お小遣いをもらうためにはどこかで２連勝する必要があります。
最初に2連勝する位置で場合分けして考えます。
まず、1試合目と2試合目で初めて2連勝する確率です。
単純に60％ x 30%で18％です。
次に、2試合目と3試合目で初めて2連勝する確率です。
1試合目で勝利した場合、2、3試合目が最初の連勝になることはありません。
つまり、1試合目で負けた上で、2、3試合目を勝つ必要があります。
したがって、（100％ - 60%） x 30% x 60% = 7.2%です。
次に、3試合目と4試合目で初めて2連勝する確率です。
3、4試合目で初めて2連勝するには、1試合目の結果は関係ありません。
2試合目は負けていないと、2、3試合目で2連勝となってしまうため、2試合目は負けている必要があります。
したがって、（100% - 30%） x 60% x 30% = 13.6%です。
最後に、4試合目と5試合目で初めて2連勝する確率です。
4、5試合目で初めて2連勝するには、次の3つの条件が必要です。
- 1、2試合目で連勝していない
- 3試合目でお母さんに負けている
- その上で4、5試合目に勝利する
それぞれの確率を求めてみると次のようになります。
100％ - 18% = 72%
100% - 60% = 40%
30% x 60% = 18%
全ての確率を掛け合わせると、72% x 40% x 18% = 5.184% ≒ 5.2%です。
以上より、全ての連続する2試合で初めて2連勝する確率を求めることができました。
全ての確率の合計が、お小遣いがもらえる確率になります。
計算すると、18% + 7.2% + 13.6% + 5.2% = 44%です。
最初にお母さんと対戦する場合の、お小遣いがもらえる確率は約44％です。
最初にお父さんと戦う場合
試合の順番は次のようになります。
父→母→父→母→父
それでは、お小遣いがもらえる確率を求めていきましょう。
お母さんから始めた場合と同様に考えていきます。
最初に2連勝する位置で場合分けして考えます。
まず、1試合目と2試合目で初めて2連勝する確率です。
単純に30％ x 60%で18％です。
次に、2試合目と3試合目で初めて2連勝する確率です。
1試合目で勝利した場合、2、3試合目が最初の連勝になることはありません。
つまり、1試合目で負けた上で、2、3試合目を勝つ必要があります。
したがって、（100％ - 30%） x 60% x 30% = 13.6%です。
次に、3試合目と4試合目で初めて2連勝する確率です。
3、4試合目で初めて2連勝するには、1試合目の結果は関係ありません。
2試合目は負けていないと、2、3試合目で2連勝となってしまうため、2試合目は負けている必要があります。
したがって、（100% - 60%） x 30% x 60% = 7.2%です。
最後に、4試合目と5試合目で初めて2連勝する確率です。
4、5試合目で初めて2連勝するには、次の3つの条件が必要です。
- 1、2試合目で連勝していない
- 3試合目でお父さんに負けている
- その上で4、5試合目に勝利する
それぞれの確率を求めてみると次のようになります。
100％ - 18% = 72%
100% - 30% = 70%
30% x 60% = 18%
全ての確率を掛け合わせると、72% x 70% x 18% = 9.072% ≒ 9.1%です。
以上より、全ての連続する2試合で初めて2連勝する確率を求めることができました。
全ての確率の合計が、お小遣いがもらえる確率になります。
計算すると、18% + 7.2% + 13.6% + 9.1% = 47.9%です。
最初にお父さんと対戦する場合の、お小遣いがもらえる確率は約47.9％です。
以上より、最初にお父さんと対戦した方がお小遣いがもらえる確率が高いことがわかりました。
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