こんにちはブログ担当のYです。
今回も論理クイズを紹介します。
ボールの並び替え
赤いボールと青いボールがたくさんあります。
この2種類のボールを1列に並べます。
そのとき、同じ色のボールが3つ等間隔に並んではいけません。
例えば、（青青青）のように連続して並んだり、（青赤青赤青）のように1個飛ばしで3つ並んだりしてはいけません。
では、ルールに従ってボールを少しでも多く並べたいとすると、最大何個まで並べることができるでしょう？
答え
8個
解説
まず、1つから順番に並べ方を考えてみましょう。
1つを並べる場合、2つを並べる場合
1つの場合と2つの場合はどのように並べても3つのボールが等間隔に並ぶことはありません。
したがって、2つの場合まで並べられることがわかりました。
3つを並べる場合
3つの場合、同じ色のボールを連続して並べてしまうと条件を満たしません。
青赤青のように並べることで条件を満たします。
したがって、3つの場合まで並べられることがわかりました。
4つを並べる場合
4つの場合も3つの場合と同じように、同じ色のボールを3つ連続しなければ大丈夫です。
青赤青赤のように並べることで条件を満たします。
したがって、4つの場合まで並べられることがわかりました。
5つを並べる場合
5つの場合は1つおきに3つ並ぶ可能性があります。
そこに注意して並べます。
青赤青赤青のように並べてしまうと青が1つおきに3つ並んでしまいます。
そのため青赤青青赤のように並べることで条件を満たします。
したがって、5つの場合まで並べられることがわかりました。
6つを並べる場合
6つの場合も5つの場合と同じように1つおきに3つ並ぶ可能性があります。
そこに注意して並べます。
青赤青赤青赤のように並べてしまうと青が1つおきに3つ並んでしまいます。
そのため青赤青青赤赤のように並べることで条件を満たします。
したがって、6つの場合まで並べられることがわかりました。
7つを並べる場合
7つの場合は1つおきに加え、2つおきに3つ並ぶ可能性があります。
そこに注意して並べます。
青赤青青赤赤青のように並べてしまうと青が2つおきに3つ並んでしまいます。
そのため赤赤青青赤赤青のように並べることで条件を満たします。
したがって、7つの場合まで並べられることがわかりました。
8つを並べる場合
8つの場合も7つの場合と同じように、2つおきに3つ並ぶ可能性があります。
そこに注意して並べます。
青赤青青赤赤青赤のように並べてしまうと青が2つおきに3つ並んでしまいます。
そのため赤赤青青赤赤青青のように並べることで条件を満たします。
したがって、8つの場合まで並べられることがわかりました。
9つの場合、2つおきに加え、3つおきに並ぶ可能性も出てきます。
２色の9つのボールを等間隔に3つ並ばないように並べることはできません。
以下に証明を示します。
9つのボールを並べられない理由
わかりやすいように、9つ並べるときに左から順番に番号を振って①、②のように表現します。
④と⑥が違う色になる
④と⑥が同じ色の場合を考えます。
仮に青とします。
①②③④⑤⑥⑦⑧⑨
この場合、3つ連続しないように⑤は赤にしなければなりません。
①②③④⑤⑥⑦⑧⑨
また、1つおきに3つの青が並ばないように、②と⑧も赤にしなければなりません。
①②③④⑤⑥⑦⑧⑨
この場合、②⑤⑧を見ると2つおきに赤が3つ並んでしまっています。
上で説明したように、全て青にすることもできないボールです。
従って、④と⑥は違う色でなければなりません。
同じように考えると、「③と⑤」、「⑤と⑦」も違う色です。
これらを考慮した並べ方は下のようになります。
①②③④⑤⑥⑦⑧⑨
③⑤⑦の色を反転したり、④⑥の左右を反転させても、本質的には同じ並び方になります。
9つのボールを並べる
①②③④⑤⑥⑦⑧⑨
まずこの並びから確定することを考えましょう。
③④が連続して青色なので、②も青だと3つ連続して青になってしまいます。
そのため②は赤です。
①②③④⑤⑥⑦⑧⑨
次に、②⑤が赤なので、⑧も赤だと2つおきに赤が3つ並んでしまいます。
そのため⑧は青です。
①②③④⑤⑥⑦⑧⑨
次に、⑦⑧が連続して青色なので、⑨も青だと3つ連続して青になってしまいます。
そのため⑨は赤です。
①②③④⑤⑥⑦⑧⑨
ここで、④⑦が青なので、①が青だと2つおきに青が3つ並んでしまいます。
しかし、⑤⑨が赤なので、①が赤だと3つおきに赤が3つ並んでしまいます。
①をどちらの色にしても3つの同じ色のボールが並んでしまいます。
したがって、このルールでは9つ以上のボールを並べることができません。
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