こんにちはブログ担当のYです

今回も論理クイズを紹介していきます

マラソン大会の順位

A、B、C、D、Eの5人でマラソン大会を行いました

レース開始時の順位はAが一番前でB、C、Dと続き、最後にEでした

レース終了時、5人はそれぞれこう発言しました

A「私は友達を5回追い抜きました」

B「私は友達を1回追い抜きました」

C「私は友達を追い抜きませんでした」

D「私は友達を2回追い抜きました」

E「私は友達を4回追い抜きました」

さて、レース終了時の順位はどのようになっているでしょうか?

※同じ人が同じ人を何度も追い抜く可能性もあります

puzzling.stackexchange.com five-friends-in-a-marathon-race

答え

1位:A

2位:D

3位:E

4位:B

5位:C

解説

まず、レース開始時に1位だったAが5回も友達を追い抜いていることに注目します

開始時にAの前には友達はいません

そのAが5回友達を追い抜くためにAは少なくとも5回は友達に追い抜かれていることが分かります

次に、A以外の4人の発言に注目します

Bは1回、Cは0回、Dは2回、Eは4回友達を追い抜いています

A以外の4人が友達を追い抜いた回数の合計は7回

そのうち少なくとも5回はAを追い抜く必要があります

また、Cは1回も友達を追い抜いていないため、開始時にすでにCの前にいるAとの位置関係はレース終了時まで変わりません

つまりレース開始からレース終了までCはAの後ろにいることが分かります

したがって、開始時にCより後ろにいるDとEがAを追い抜くためには少なくとも1回はCを追い抜く必要があります

つまりDがAを追い抜くことができる回数は1回

EがAを追い抜くことができる回数は3回になります

また、BはCを追い抜く必要がないため、Aを追い抜くことができる回数は1回です

これらを足すと合計5回とAが追い抜かれる必要のある回数と一致します

ここまででわかることは

  • B、C、D、Eの4人合わせてAを5回追い抜いた
  • Aは5回追い抜かれたが、5回追い抜いたため、1位でゴールした

次はそれぞれの順位を考えます

まず、Cは1度も追い抜いておらず、DとEに追い抜かれているので必ず5位です

ここまでを整理し、DとEがCを追い抜いた時の順位は次のようになっています

1位A追い抜き0回、残り5回
2位B追い抜き0回、残り1回
3位D追い抜き1回、残り1回
4位E追い抜き1回、残り3回
5位C追い抜き0回、残り0回

次に誰かを追い抜くことができるのはBだけです

DとEは追い抜き可能回数が残っていますが残りの追い抜き回数は全てAを追い抜く必要があるためこの順位のままでは追い抜くことはできません

したがってこの順位になった後はBがAを追い抜いたと考えられます

1位B追い抜き1回、残り0回
2位A追い抜き0回、残り5回
3位D追い抜き1回、残り1回
4位E追い抜き1回、残り3回
5位C追い抜き0回、残り0回

次に考えられるのは、「AがBを追い抜く」か「DがAを追い抜く」のどちらかです

しかしAがBを追い抜いてしまうとDがAを追い抜くことができなくなってしまいます

つまりここでは「DがAを追い抜いた」と考えられます

1位B追い抜き1回、残り0回
2位D追い抜き2回、残り0回
3位A追い抜き0回、残り5回
4位E追い抜き1回、残り3回
5位C追い抜き0回、残り0回

また同じように「AがDを追い抜く」と「EがAを追い抜く」の2通りが考えられますが、AがDを追い抜いてしまうと、EがAを3回追い抜くことができなくなってしまいます

つまりここでは「EがAを追い抜いた」と考えられます

1位B追い抜き1回、残り0回
2位D追い抜き2回、残り0回
3位E追い抜き2回、残り2回
4位A追い抜き0回、残り5回
5位C追い抜き0回、残り0回

Eの追い抜き回数が後2回残っていて、その2回が全てAを追い抜く必要があります

つまり「AがEを追い抜く」、「EがAを追い抜く」と追い抜き合うのが2回行われたと考えられます

1位B追い抜き1回、残り0回
2位D追い抜き2回、残り0回
3位E追い抜き4回、残り0回
4位A追い抜き2回、残り3回
5位C追い抜き0回、残り0回

あと追い抜き回数が残っているのはAだけです

AがあとE、D、Bと順に追い抜いていくとちょうど全員の追い抜き回数の残りが0になります

したがって終了時の順位は次のようになります

1位:A

2位:B

3位:D

4位:E

5位:C

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