こんにちはブログ担当のYです

今回も論理クイズを紹介します

競技の順位当てパズル

A、B、Cの3人が100m走、やり投げ、幅跳びの陸上競技3種目で競い合いました

全ての競技でそれぞれ1位がXポイント、2位がYポイント、3位がZポイントを獲得します

引き分けはなく、各競技で必ず1、2、3位が確定します

ポイントの配分は、X>Y>Zとなっており、それぞれ正の整数です

全ての協議が終了し、全員のポイントが確定しました

結果

1位 A 20ポイント

2位 B 10ポイント

3位 C 9ポイント

Aが100m走で2位になっていることがわかっている場合、全ての種目での順位はどのようになっているでしょう

Puzzling.stackexchange.com:[Find the competition rankings of three people based on their final scores]

答え

100m走

1位:B

2位:A

3位:C

やり投げ

1位:A

2位:C

3位:B

幅跳び

1位:A

2位:C

3位:B

解説

まず、各競技での点数配分を考えます

1位がXポイント、2位がYポイント、3位がZポイント獲得します

引き分けなしで3人で3競技行ったということは1位が3回、2位が3回、3位が3回獲得されたことがわかります

そして、3人の合計獲得ポイントを合わせると39ポイントになります

これを式に表すと次のようになります

3(X + Y + Z) = 39
X + Y + Z = 13

したがって1種目での合計ポイント(X + Y + Z)は13ポイントになります

また、XYZはそれぞれ正の整数でX>Y>Zが成り立ちます

ここで、Yの最大値について考えます

Yの最大値を考えます
Yを最大化するにはXとZをそれぞれ最小かする必要があります

X > Y > Z 、XYZは正の整数より
Xの最小値はY + 1
Zの最小値は1

X + Y + Z = 13
(Y + 1) + Y + 1 = 13
Y = 5.5

ここで、Yは整数でなければならないのでYの最大値は5

Yの最大値が5だとわかったところで、次はAのポイントと順位を考えます

Aの合計ポイントは20ポイントで、100m走で2位をとったことがわかっています

Y(2位のポイント)の最大値が5ポイントだとわかっているため、20ポイント獲得するにはAはやり投げと幅跳びで合計15ポイント以上獲得する必要があります

2種目で15ポイントを獲得するには、その両方で1位を取る必要があります

なぜなら片方1位、片方2位の場合を考えるとわかりやすいです

1位はXポイント、2位はYポイント獲得します

片方1位、片方2位の場合の合計ポイントは(X + Y)ポイントです

しかし、X + Y + Z = 13(ポイント)ということがわかっているため、X + Yが15以上になることはできません

したがってAはやり投げと幅跳びの両方で1位をとったことがわかりました

Aの獲得ポイントを式で表すと次のようになります

2X + Y = 20

ここで、2Xは明らかに偶数なのでYも偶数であることがわかります(偶数+偶数=偶数のため)

Yの最大値は5ポイント、また1以上であることがわかっているため、Yは2または4です

Y = 2の場合

2X + Y = 20

2X = 18

X = 9

X + Y + Z = 13

Z = 2

したがってX = 9、Y = 2、Z = 2となってしまい、X > Y > Zが成り立ちません

Y = 4の場合

2X + Y = 20

2X = 16

X = 8

X + Y + Z = 13

Z = 1

したがってX = 8、Y = 4、Z = 1となり矛盾はありません

この場合で全員の順位を考えてみます

Aの順位

解説したようにAは100m走で2位、やり投げと幅跳びで1位を獲得しています

Bの順位

Bは合計で10ポイントを獲得しています

8と4と1を3つ組み合わせて10を作るには1通りしかありません

8 + 1 + 1で合計が10になります

つまり1位を1回、3位を2回獲得したことがわかります

Bが1位を獲得できるのはAが2位をとった100m走だけです

つまりBの順位は、100m走で1位、やり投げと幅跳びで3位です

Cの順位

AとBの順位がわかったので、Cは残りの順位に当てはめるだけです

つまりCの順位は、100m走で3位、やり投げと幅跳びで2位です

選手100m走やり投げ幅跳び
1位(8ポイント)BAA
2位(4ポイント)ACC
3位(1ポイント)CBB

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