論理クイズ 100万ドルの賞金はどこに？

こんにちはブログ担当のYです

今回も論理クイズを紹介します

100万ドルの賞金はどこに？

あなたは論理クイズ番組の最終問題に辿り着きました
最終問題は1から20のラベルがついた20個のドアの中からたった一つしかない正解のドアを当てることです
司会はこう言います
「20個のドアのうち1つには100万ドルの賞金が隠されています。しかしそれ以外はハズレです」
「なんのヒントも無しでは当てずっぽうになってしまうでしょう。そこで、答えを知っている8人のアシスタントにそれぞれヒントをもらいましょう」
「しかし8人のうちX人が間違ったことを言うでしょう」
「ん？Xとはなんですかって？それは言えませんね。なぜならこのXを知ってしまうと答えがわかってしまうのでね」
「さあ8人のアシスタントのヒントをよく聞いてくださいね。」
アシスタント1「正解のドアがもし偶数だったら、正解のドアは平方数です」
アシスタント2「正解のドアがもし平方数だったら、正解のドアは異なる約数が6つ未満の数です」
アシスタント3「正解のドアがもし異なる約数が6つ未満の数だったら、正解のドアは10以下の数です」
アシスタント4「正解のドアがもし10以下の数だったら、正解のドアは偶数です」
アシスタント5「アシスタント1〜4の中に嘘つきはちょうど1人です」
アシスタント6「アシスタント1〜5の中に嘘つきはちょうど2人です」
アシスタント7「アシスタント1〜6の中に嘘つきはちょうど3人です」
アシスタント8「アシスタント1〜7の中に嘘つきはちょうど4人です」
※平方数：4、9、16のようにある数の2乗で表せる数
※約数：その数を割り切ることができる数（12の約数：1、2、3、4、6、12）
stackexhange.com Out of these 20 Doors, Which One Leads You to the Jackpot?

今回のクイズは少々難しいと感じたのでいくつかヒントを用意しました

解けない方はヒントを見て考えてみてください

ヒント1

まずどこから手をつけていいか分からない方へ

非常に重要なのが、発言が「偽」になる条件についてです

アシスタント1の発言を例に考えてみましょう

「正解のドアがもし偶数だったら、正解のドアは平方数です」

「もしAならB」という発言が偽になるには「AかつBでない」ことが条件になります

つまりアシスタント1の発言が「偽」になる条件は、「正解のドアが偶数かつ平方数でない」ことです

整理するとアシスタント1の発言が「真」になるのは、正解のドアが「奇数の場合、偶数かつ平方数の場合」

→「1、3、4、5、7、9、11、13、15、16、17、19」

「偽」になるのは、正解のドアが「偶数かつ平方数でない場合」

→「2、6、8、10、12、14、18、20 」

ヒント2

アシスタント2の発言は常に「真」

ヒント1と同じように場合分けして考えてみましょう

「正解のドアが平方数なら正解のドアは約数が6つ未満」

これが偽になるには「平方数かつ約数が6つ以上」である必要があります

しかし1〜20のうちの平方数には約数が6つ以上のものはありません

1：約数1つ

4：約数3つ

9：約数3つ

16：約数5つ

つまりアシスタント2の発言は常に「真」であることがわかります

ヒント3

アシスタント6、7、8の発言は常に「偽」

まず、アシスタント5の発言をみてみましょう

「アシスタント1〜4の中に嘘つきはちょうど1人」

アシスタント5の発言が「真」の場合

アシスタント1〜4の中に嘘つきが1人、アシスタント5の発言も「真」ということから、1〜5の中に嘘つきは1人ということになります

するとアシスタント6の発言は「偽」となり、アシスタント1〜6の中に嘘つきは2人

するとアシスタント7の発言は「偽」となり、アシスタント1〜7の中に嘘つきは3人

するとアシスタント8の発言は「偽」となります

アシスタント5の発言が「偽」の場合

アシスタント1〜4の中に嘘つきは0、2、3、4のどれかです

さらにアシスタント5も嘘つきになるのでアシスタント1〜5の中にいる嘘つきの数は1、3、4、5のどれか

つまりアシスタント6の発言も「偽」

同じようにしていくとアシスタント7、8の発言も「偽」

つまりアシスタント6〜8の発言は常に「偽」であることが分かりました

ヒント4

Xを知ってしまうと正解のドアがわかる

司会が何気なく言っていますが、重要なことです

まだXの値が何か分かりませんが、「Xがわかると正解がわかる」ということが非常に大切です

答え

アシスタント1〜4の発言

アシスタント1の発言が「偽」になるためには、正解のドアが「偶数かつ平方数でない」必要があります

つまり「1、３、4、5、7、9、11、13、15、16、17、19」→真

「2、6、8、10、12、14、18、20」→偽

アシスタント2の発言は常に「真」です

1〜20の平方数は1、4、9、16ですが、全て約数は6つ未満です

アシスタント3の発言が「偽」になるためには、正解のドアが「約数が6つ未満かつ11以上」である必要があります

つまり「1〜10、12、18、20」→真

「11、13、14、15、16、17、19」→偽

アシスタント4の発言が「偽」になるためには、正解のドアが「10以下かつ奇数」必要があります

つまり「2、4、6、8、10〜20」→真

「1、3、5、7、9」→偽

これらを整理すると次の表のようになります

正解のドアの数字	アシスタント1	アシスタント2	アシスタント3	アシスタント4	「偽」の数
1	真	真	真	偽	1
2	偽	真	真	真	1
3	真	真	真	偽	1
4	真	真	真	真	0
5	真	真	真	偽	1
6	偽	真	真	真	1
7	真	真	真	偽	1
8	偽	真	真	真	1
9	真	真	真	偽	1
10	偽	真	真	真	1
11	真	真	偽	真	1
12	偽	真	真	真	1
13	真	真	偽	真	1
14	偽	真	偽	真	2
15	真	真	偽	真	1
16	真	真	偽	真	1
17	真	真	偽	真	1
18	偽	真	真	真	1
19	真	真	偽	真	1
20	偽	真	真	真	1