こんにちはブログ担当のYです。

今回は、論理クイズの定番問題の犯人探しクイズについて、解き方の定石などを解説します。

帽子の色当てクイズ 解き方

例題

ここに黒い帽子が3つと白い帽子が2つある。

3人の人に、それぞれ自分の帽子の色が分からないように帽子を被せる。

残りの帽子は見えないように隠す。

3人は、他人の帽子は見えるが、自分の帽子は見えない。

「自分の帽子の色が分かったら手を挙げてください。」というと、誰も手を挙げない。

しばらくすると、全員が同時に手を挙げた。

3人はそれぞれ何色の帽子を被っていた?

※3人は全部で黒が3つ、白が2つであることを知っている。

※互いの帽子の色を伝えることはできない。

解説

まず、例題の答えは「全員黒の帽子」です。

それでは解説していきます。

帽子の色当てクイズでよくある状況は、「自分の帽子の色はわからないが、他人の帽子の色はわかる。」というものです。

ここで重要なのが、回答者が自分の帽子の色がわかるタイミングです。

例題では、「しばらくすると、全員が同時に」とあるので、他の人の帽子をみてすぐにわかった人はいない。

また、だれか1人が先にわかったり、誰か1人だけがわからなかったりということもない、とわかります。

そこで整理しておきたいのが、「どのような状況だったら、すぐに自分の帽子の色がわかるのか」ということです。

例題の状況を整理しましょう。

  • 人数は3人
  • 帽子は全部で5個
  • 黒が3つ、白が2つ
  • 分かったら手を挙げる

この状況で、すぐに自分の帽子の色がわかるのはどのような状況でしょうか。

それは「自分以外の2人が白い帽子を被っている。」という状況です。

なぜなら白い帽子は全部で2個しかないため、自分以外の2人が両方とも白い帽子を被っていたら自分は黒い帽子だとすぐにわかります。

例題ではすぐに自分の帽子の色が分かった人はいません。

つまり白い帽子は2つ使われてはいないということがわかります。

ここから場合分けをするのですが、何色の帽子が見えたのか、で場合分けをします。

ほかにも、全体の帽子の分配などで場合分けをすることも可能です。

具体的には、「白・白」が見えた場合、「白・黒」が見えた場合、「黒・黒」が見えた場合、のように場合分けをします。

「白・白」が見えた場合については、前述の通りあり得ないことがわかっているため、省略します。

「白・黒」が見えた場合

この場合、すぐには自分の帽子の色はわかりません。

しかし、こう考えることができます。

「もし自分が白い帽子を被っているなら、黒の帽子の人から見ると「白・白」に見えるはず。」

なので、黒い帽子の人がすぐに手を挙げた場合、自分の帽子の色が白だとわかります。

また、黒の帽子の人がすぐに手を挙げない場合、自分の帽子の色が白ではなく黒であるとわかります。

「黒・黒」が見えた場合

この場合もすぐには自分の帽子の色はわかりません。

しかし、こう考えることができます。

「もし自分が白い帽子を被っているなら、残りの2人からは「白・黒」に見えるはず。」

なので、上の「白・黒」が見えた場合のように、しばらくしたら2人が自分の帽子が黒だとわかり、手を挙げるはずです。

つまり、しばらくして残りの2人が手を挙げれば自分の帽子の色が白だとわかります。

また、それだけ待っても2人とも手を挙げないとすると、自分の帽子の色は黒だとわかります。

例題では、全員が同時に手を挙げています。

「黒・黒」が見えた場合の赤文字部分以外では、全員が同時に自分の帽子の色がわかることはありません。

誰かが手を挙げて、それをヒントに自分の帽子の色がわかるパターンです。

そのため、全員が同時に手を上げたということは、全員が黒い帽子を被っていて、それぞれが「黒・黒」が見えた場合の「自分が白でないとわかる。」パターンしかあり得ません。

したがって、例題の答えは「全員が黒い帽子を被っている」です。

まとめ

帽子の色当ての問題は、まず、回答者がどのタイミングで自分の帽子の色がわかったのかというのを確認する必要があります。

また、どのように他の人の帽子が見えると、”すぐに”自分の帽子の色がわかるのか、ということを整理するのも重要です。

そして、最終的には「どう見えているか」「全体の帽子の分配」などで場合分けすることで、全員の帽子の色を絞り込むことができます。

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